Archivo de la categoría: CÁLCULO DIFERENCIAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

CONCEPTO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Los puntos máximos y mínimos locales de la gráfica de una función son lugares donde la curva adopta una forma transitoriamente horizontal, más o menos como una carretera que va subiendo a una montaña, cuando alcanza la cima, al menos una pequeña sección de la carretera queda totalmente horizontal (ver dibujo) y lo mismo ocurre en los valles.

Para ampliar tus conocimientos sobre máximos y mínimos por favor consulta la sección de teoría: (Pronto)

Aquí te dejo ejercicios resueltos de aplicación de máximos y mínimos:

Problemas de máximos y mínimos

Problemas de máximos y mínimos

DERIVADAS

CÁLCULO DIFERENCIAL: DERIVADAS

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LA DERIVADA

La derivada es uno de los temas más importantes de cálculo. Vamos a comenzar este capítulo mediante una explicación detallada del concepto de la derivada. Luego, vamos a revisar los diversos métodos para obtener la derivada de una función.

El concepto de derivada comienza con definiciones de trigonometría. La tangente es una de las seis funciones trigonométricas del triángulo rectángulo:

        • Seno
      • Coseno
      • Tangente
      • Cotangente
      • Secante
      • Cosecante

A continuación tenemos un triángulo rectángulo, en el cuál la hipotenusa se identifica con la letra c, el cateto opuesto con la a, el cateto adyacente con la b.

triangulo rectangulo

Al ángulo agudo principal (rojo) lo hemos llamado theta (θ). Las funciones trigonométricas del ángulo theta θ en este triángulo serán las siguientes:

funciones trigonométricas

De las 6 funciones trigonométricas, la que más nos interesa es la función tangente, porque representa el cociente (división) de un incremento en el eje “y” (vertical) dividido por un incremento en el eje “x” (horizontal), como podrás ver en la siguiente figura:

funcion tangente

Ahora podemos extrapolar este concepto a una recta trazada en el plano cartesiano. En la siguiente imagen podemos ver una recta oblícua (que no es horizontal ni vertical, sino que tiene alguna inclinación) que corta el eje x.

Recta1

La recta al cortar eje eje de las abcisas (eje x) forma con este un ángulo alfa (α) de inclinación. Ese ángulo al igual que todos los ángulos, tiene un valor tangente específica. Por ejemplo, si el ángulo fuera de 45 grados su tangente sería de 1, si fuera de 60 grados, su tangente sería 1.7320. A esa tangente se le llama PENDIENTE del ángulo, son sinónimos tangente y PENDIENTE, aunque se utiliza más el nombre pendiente en geometría analítica y en cálculo. La pendiente se simboliza como m.

Ahora, tracemos un punto arbitrario de la recta al que llamaremos A de coordenadas (x1, y1) y otro punto arbitrario B de coordenadas B(x2, y2).  

Recta2

Hagamos pasar por el punto A una recta horizontal, paralela al eje x  (linea punteada) y también hagamos pasar por B una recta vertical, paralela al eje y (linea punteada). Llamemos C al punto de intersección de ambas rectas punteadas.  El punto C tiene la misma coordenada “x” del punto B y además, este punto C tiene la misma coordenada “y” del punto A, por lo que las coordenadas de C son C(x2.y1), es decir una combinación de coordenadas.

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Observa que los puntos P1, P2 y P3 determinan un triángulo rectángulo. También observa que el ángulo theta del triángulo que se forma es idéntico al ángulo alfa de la recta. Por lo que la tangente de theta será también la tangente de alfa.

Figure 10  Article image in development stage: 7%

Si queremos calcular la pendiente de la recta, debemos calcular la tangente de theta, y sabemos que se calcula como:

Figure 11  Article image in development stage: 89%

Aquí, haremos una pausa para recordar las fórmulas de distancia entre 2 puntos:

Figure 12  Article image in development stage: 11%

Como los puntos P2 y P3 determinana el cateto opuesto, este se calcula como:

Figure 13  Article image in development stage: 22%

Como los puntos P1 y P3 determinana el cateto adyacente, este se calcula como:

Figure 14  Article image in development stage: 21%

Entonces la tangente será:

Figure 15  Article image in development stage: 24%

Esa es la fórmula para calcular la pendiente de una recta (de cualquier recta oblícua) siempre que se conozcan dos de sus puntos.

Quizá te preguntes ¿que tiene que ver todo esto con la derivada? La respuesta es TODO. Tiene mucho que ver, porque de aquí surge el concepto de derivada.

Por ejemplo: cuál es el ángulo de inclinación de una curva, cuál es la pendiente de una curva.

****** Este artículo está en pleno proceso de creación y edición. Gracias por entendernos.

EJERCICIOS RESUELTOS DERIVADAS POR EL METODO DE LOS 4 PASOS

DERIVADAS POR EL MÉTODO DE LOS 4 PASOS: EJERCICIOS

En esta sección encontrarás diversos ejercicios resueltos de derivadas utilizando el Método de los 4 Pasos, también llamado Regla de los Cuatro Pasos, o Cociente de Incrementos.

Al igual que otros ejercicios resueltos que encontrarás en CursoDeCalculo.com, los ejercicios están en formato PDF listos para descargar totalmente gratis. Por lo común, todos los dispositivos, ya sea computadoras, teléfonos móviles o tabletas, tienen preinstalado Adobe Reader o algún otro programa para leer documentos PDF. Si no lo tienes, en esta página hay un enlace para descargarlo gratis desde la página oficial.

Aquí te presento el primer ejercicio resuelto, solo dale clic al enlace, la descarga es automática.

4 Pasos Ejericios 1

Preguntas frecuentes:

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Aquí te dejo otra versión de la regla de los 4 pasos dale clic;

4 Pasos Ejericios 1

Más Preguntas Frecuentes:

¿Donde puedo ver la teoría sobre este tema?   En breve vamos a subir la parte teórica, la explicación detallada sobre el método de los 4 pasos, esta página es la parte práctica, los ejercicios.

¿Cómo le hago para inscribirme al curso? Solo visita la página de curso gratuito.

¿Cómo se extinguieron los dinosaurios?  ¿Que?  ¿Eso que tiene que ver?  Ja, es broma. Saludos!

Este documento contiene una comparación entre dos versiones del método de los 4 pasos:

4 Pasos Ejericios 1

 Vamos a subir muchos más. Saludos!

EJERCICIOS RESUELTOS LIMITES Y CONTINUIDAD FUNCIONES RACIONALES

En esta sección encontrarás ejercicios resueltos de límites y continuidad de una función.

Para descargarlo solo debes hacer clic en el enlace. El documento está en PDF de adobe reader.  En esta pagina también hay un enlace para descargar adobe reader si no lo tuvieras pero casi todos lo tenemos instalado de forma normal.

Ejercicios de Limites y Continuidad ← Clic en el enlace

 

 

EJERCICIOS RESUELTOS LÍMITES POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA; EJERCICIOS RESUELTOS

Solo para recordar: los criterios para la existencia de un límite son:

  1. Que exista el límite de f(x) cuando x tiende a “c” por la izquierda
  2. Que exista el límite de f(x) cuando x tiende a “c” por la derecha
  3. Que El límite por la izquierda sea igual al límite por la derecha

El valor x=c es cualquier número real. Recordemos también que un  límite siempre es un valor de “y”, no de “x”.

Además, hay 3 criterios de continuidad de una función en x=”c”. Una función f(x) es continua en el valor x=c cuando cumple:

  1. La función está definida para f(c), o sea que f(c) existe
  2. Existe el límite de f(x) cuando x tiende a c (o sea se cumplen los 3 criterios de la existencia de un límite mencionados antes)
  3. El valor de f(c) es igual al valor del límtie de f(x) cuando x tiende a “c”

A continuación puedes descargar gratis (en formato PDF) una serie de ejercicios resueltos de límites por la izquierda y por la derecha. Solo dale clic.

Límites por la izquierda y por la derecha funcioens a trozos   ← Clic aquí.

* Generalmente todos tenemos instalado Adobe Reader para leer documentos PDF, ya sea que tengas una sofisticada Tablet, un incómodo Smartphone o una poderosa laptop, pero si no lo tuvieras (caso rarísimo) puedes bajarlo en el enlace que verás en esta página, no seas flojo(a), busca el botón.

OPERACIONES CON FUNCIONES

OPERACIONES CON FUNCIONES: SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

En esta página encontrarás ejercicios resueltos sobre funciones, solo haz clic en el siguiente enlace.

Operaciones con funciones   ← Haz Clic para abrir en PDF

FUNCIONES POLINÓMICAS ( POLINOMIALES)

CUÁLES SON LAS FUNCIONES POLINOMIALES

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

Las funciones polinómicas o polinomiales son aquellas en las que aparece despejada la variable y o su sinónimo f(x) “en función” de los términos de x.

Ejemplos de funciones polinomiales o polinómicas:

f(x)=7x²+8x-9  (Ecuación I)

f(x)=5x³-7x²+9x-8  (Ecuación II)

Observa que la regla de correspondencia (es decir, la ecuación principal) es precisamente un polinomio (expresión algebraica que tiene muchos términos).

Las funciones polinómicas o polinomiales se pueden clasificar según el grado mayor de la variable x, es decir, el exponente más grande que presenta la x. así por ejemplo, la ecuación I es de segundo grado porque la mayor x es la de segundo grado mientras que la ecuación II es una función de tercer grado porque el mayor exponente es 3.

Además, se le llama coeficiente dominante al número que acompaña a la variable de mayor exponente, así por ejemplo, en la ecuación I el coeficiente dominante es 7 mientras que en la ecuación II el coeficiente dominante es 5. Más adelante veremos la importancia que tiene el signo del coeficiente dominante, ya que determina principalmente si la curva “abre hacia arriba” o “abre hacia abajo”.

Hay muchas cosas importantes y también interesantes acerca de las funciones polinómicas. El objetivo de este capítulo es ayudarte a comprender de forma sencilla los aspectos más importantes y generales sobre las mismas. Si deseas profundizar en el tema, con gusto te proponemos consultar la bibliografía recomendada ya que son excelentes libros y en ellos profundizarás sobre este tema tan estratégico en cálculo.

Ahora vamos a ver cómo se clasifican las funciones polinómicas de acuerdo al grado y cuáles son las características gráficas más importantes.

FUNCIÓN CONSTANTE

Las funciones en las que solamente aparecela y, el signo igual y un número real cualquiera (incluso fracciones, o números decimales). Ejemplos:

y=4

y=-5

y=7/8

y=π  (Pi=3.1416 es solo una constante)

y=0

etc.

Recuerda también que f(x) es lo mismo que y así que puedes encontrarlas como:

f(x)=3

f(x)=-2

etc.

La gráfica de una función constante es siempre una recta horizontal que corta el eje y precisamente donde la función lo indica, por ejemplo y=5 corta al eje y en el valor 5, observa su gráfica, compárala con la de g(x)=−2:

funcion constante

Este artículo está en pleno proceso de edición. Agradecemos tu comprensión, tus comentarios y dudas tendrán respuesta inmediata, yo te recomiendo utilizar Facebook para contactarnos. Saludos!

EJERCICIOS SOBRE FUNCIONES: DOMINIO Y RANGO

EJERCICIOS RESUELTOS DE DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Aquí encontrarás una gran cantidad de ejercicios resueltos paso por paso, en los cuales obtenemos la gráfica de diversas funciones, determinamos su dominio y rango (el rango también es conocido como imagen o recorrido). Si estás viendo esta página web desde tu laptop, PC o Mac, lo común es que ya tengas instalado el programa Adobe® Reader™ para leer los documentos en formato PDF, pero si no lo tienes instalado puedes descargar gratis la versión adecuada para tu dispositivo, incluso si estás usando iPhone, Android, iPad, etc. desde el siguiente botón que te dirige a la web oficial del software.

Adobe reader

Para abrir los documentos de ejercicios resueltos solo debes hacer clic en el siguiente enlace. Esto te permitirá saber de paso si ya tienes instaldo Adobe® Reader™

Funciones Dominio Rango ← Clic Aquí para Abrir

¿Por qué publicamos los ejercicios en PDF? Es un formato muy conveniente para ecuaciones, también podríamos publicar directamente en HTML pero hemos visto que es más útil el formato PDF, más manejable.  Se aceptan sugerencias y comentarios. ¡Y por favor regálame Like en FB!

REGLA DEL COCIENTE: DERIVADAS

DERIVADAS POR LA REGLA DEL COCIENTE

El documento PDF con los dos ejercicios desarrollados que se muestran en el vídeo lo puedes descargar en el siguiente link:

Regla del cociente derivadas

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Adobe reader

El formulario lo puedes descargar desde aquí:

formulario de derivadas

Aquí puedes ver el Vídeo:

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DIFERENCIALES (DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN)

LOS DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES ¿QUÉ ES UN DIFERENCIAL?

En este capítulo se revisarán con todo detalle los diferenciales y sus aplicaciones. Este tema es considerado un tema “avanzado” de cálculo diferencial por lo cuál requieres tener conocimientos precisos de derivadas, límites, funciones y optimización.

Por definición, la derivada de una función y=f(x) está representada por:

derivada diferenciales

La derivada es equivalente al límite cuando Δx tiende a cero de la división (cociente) de incrementos: es decir, el incremento de y dividido por el incremento de x.

DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL

Definición de diferencial de una función: El diferencial de una función es la multiplicación de la derivada por el diferencial de la variable independiente.

Diferencial

Esta expresión algebraica es equivalente a esta otra:

3

Es símplemente como si el denominador de la derivada (que está dividiendo) pasa multiplicando del lado derecho del signo igual.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN DIFERENCIAL

Para interpretar geométricamente el concepto de diferencial, recordaremos algunos conceptos básicos de trigonometría: las funciones trigonométricas. Considera el siguiente triángulo rectángulo, en el que al ángulo principal lo hemos denominado ángulo alfa (α), al cateto opuesto lo llamaremos “y“, al cateto adyacente lo llamaremos “x“, y finalmente a la hipotenusa la llamaremos “r“.

Triángulo rectángulo

A partir de este triángulo las tres pincipales funciones trigonométricas son:

Funciones trigonometricas

Observando la fórmula de la función tangente podemos despejar el cateto opuesto (y):

Función tangente

Podemos observar que el cateto opuesto es igual a la multiplicación del cateto adyacente por la tangente del ángulo.

…continuará próximamente!…

EJERCICIOS RESUELTOS DE LÍMITES


LÍMITES CON FACTORIZACIÓN (INDETERMINACIÓN 0/0)

En esta lección vamos resolver varios límites por medio del método de factorización del trinomio de la forma Ax²+Bx+C y por el método de factorización de la diferencia de cuadrados perfectos para evitar la indeterminación cero sobre cero (0/0).  

Para descargar tu documento PDF con los ejercicios resueltos de límites solo da clic en icono que está más abajo.

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En seguida descarga tus ejercicios resueltos de límites dando clic en el ícono:

Ejercicios resueltos de limites

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ADICIONAL
En el enlace que aparece en seguida, te explico varios límites un poco más difíciles

Limites Dificiles  ← Clic Aqui

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