EJERCICIOS RESUELTOS LÍMITES POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA; EJERCICIOS RESUELTOS

Solo para recordar: los criterios para la existencia de un límite son:

  1. Que exista el límite de f(x) cuando x tiende a “c” por la izquierda
  2. Que exista el límite de f(x) cuando x tiende a “c” por la derecha
  3. Que El límite por la izquierda sea igual al límite por la derecha

El valor x=c es cualquier número real. Recordemos también que un  límite siempre es un valor de “y”, no de “x”.

Además, hay 3 criterios de continuidad de una función en x=”c”. Una función f(x) es continua en el valor x=c cuando cumple:

  1. La función está definida para f(c), o sea que f(c) existe
  2. Existe el límite de f(x) cuando x tiende a c (o sea se cumplen los 3 criterios de la existencia de un límite mencionados antes)
  3. El valor de f(c) es igual al valor del límtie de f(x) cuando x tiende a “c”

A continuación puedes descargar gratis (en formato PDF) una serie de ejercicios resueltos de límites por la izquierda y por la derecha. Solo dale clic.

Límites por la izquierda y por la derecha funcioens a trozos   ← Clic aquí.

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OPERACIONES CON FUNCIONES

OPERACIONES CON FUNCIONES: SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

En esta página encontrarás ejercicios resueltos sobre funciones, solo haz clic en el siguiente enlace.

Operaciones con funciones   ← Haz Clic para abrir en PDF

FUNCIONES POLINÓMICAS ( POLINOMIALES)

CUÁLES SON LAS FUNCIONES POLINOMIALES

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

Las funciones polinómicas o polinomiales son aquellas en las que aparece despejada la variable y o su sinónimo f(x) “en función” de los términos de x.

Ejemplos de funciones polinomiales o polinómicas:

f(x)=7x²+8x-9  (Ecuación I)

f(x)=5x³-7x²+9x-8  (Ecuación II)

Observa que la regla de correspondencia (es decir, la ecuación principal) es precisamente un polinomio (expresión algebraica que tiene muchos términos).

Las funciones polinómicas o polinomiales se pueden clasificar según el grado mayor de la variable x, es decir, el exponente más grande que presenta la x. así por ejemplo, la ecuación I es de segundo grado porque la mayor x es la de segundo grado mientras que la ecuación II es una función de tercer grado porque el mayor exponente es 3.

Además, se le llama coeficiente dominante al número que acompaña a la variable de mayor exponente, así por ejemplo, en la ecuación I el coeficiente dominante es 7 mientras que en la ecuación II el coeficiente dominante es 5. Más adelante veremos la importancia que tiene el signo del coeficiente dominante, ya que determina principalmente si la curva “abre hacia arriba” o “abre hacia abajo”.

Hay muchas cosas importantes y también interesantes acerca de las funciones polinómicas. El objetivo de este capítulo es ayudarte a comprender de forma sencilla los aspectos más importantes y generales sobre las mismas. Si deseas profundizar en el tema, con gusto te proponemos consultar la bibliografía recomendada ya que son excelentes libros y en ellos profundizarás sobre este tema tan estratégico en cálculo.

Ahora vamos a ver cómo se clasifican las funciones polinómicas de acuerdo al grado y cuáles son las características gráficas más importantes.

FUNCIÓN CONSTANTE

Las funciones en las que solamente aparecela y, el signo igual y un número real cualquiera (incluso fracciones, o números decimales). Ejemplos:

y=4

y=-5

y=7/8

y=π  (Pi=3.1416 es solo una constante)

y=0

etc.

Recuerda también que f(x) es lo mismo que y así que puedes encontrarlas como:

f(x)=3

f(x)=-2

etc.

La gráfica de una función constante es siempre una recta horizontal que corta el eje y precisamente donde la función lo indica, por ejemplo y=5 corta al eje y en el valor 5, observa su gráfica, compárala con la de g(x)=−2:

funcion constante

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EJERCICIOS SOBRE FUNCIONES: DOMINIO Y RANGO

EJERCICIOS RESUELTOS DE DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Aquí encontrarás una gran cantidad de ejercicios resueltos paso por paso, en los cuales obtenemos la gráfica de diversas funciones, determinamos su dominio y rango (el rango también es conocido como imagen o recorrido). Si estás viendo esta página web desde tu laptop, PC o Mac, lo común es que ya tengas instalado el programa Adobe® Reader™ para leer los documentos en formato PDF, pero si no lo tienes instalado puedes descargar gratis la versión adecuada para tu dispositivo, incluso si estás usando iPhone, Android, iPad, etc. desde el siguiente botón que te dirige a la web oficial del software.

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¿Por qué publicamos los ejercicios en PDF? Es un formato muy conveniente para ecuaciones, también podríamos publicar directamente en HTML pero hemos visto que es más útil el formato PDF, más manejable.  Se aceptan sugerencias y comentarios. ¡Y por favor regálame Like en FB!

REGLA DEL COCIENTE: DERIVADAS

DERIVADAS POR LA REGLA DEL COCIENTE

El documento PDF con los dos ejercicios desarrollados que se muestran en el vídeo lo puedes descargar en el siguiente link:

Regla del cociente derivadas

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El formulario lo puedes descargar desde aquí:

formulario de derivadas

Aquí puedes ver el Vídeo:

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EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL

En esta sección encontrarás numerosos ejercicios de calculo integral resueltos paso por paso. Te recomiendo agregar esta página web a tus favoritos, porque constantemente estamos actualizándola con más ejemplos resueltos y vamos a añadir vídeos con explicaciones geniales y sencillas. 

Los ejercicios resueltos están reunidos en bloques de 10 documentos PDF.  Descargarlos será lo más simple del mundo, solo dale clic en el ícono correspondiente y ¡ Ya !

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INTEGRALES QUE SE RESUELVEN DE FORMA DIRECTA

Integrales directas

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

Integrales por sustitución o cambio de variable

Ejercicios resueltos de integral 3

 

Próximamente tendré más integrales para tí, además de videos.

Autor: Profesor Raúl Vega Muñoz.

Recuerda que si deseas tomar clases personalizadas (asesorías online) y resolver tus ejercicios paso a paso, visita la sección “ASESORIAS” de este sitio web. Si te gusta esta página regálame like en Facebook!

DIFERENCIALES (DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN)

LOS DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES ¿QUÉ ES UN DIFERENCIAL?

En este capítulo se revisarán con todo detalle los diferenciales y sus aplicaciones. Este tema es considerado un tema “avanzado” de cálculo diferencial por lo cuál requieres tener conocimientos precisos de derivadas, límites, funciones y optimización.

Por definición, la derivada de una función y=f(x) está representada por:

derivada diferenciales

La derivada es equivalente al límite cuando Δx tiende a cero de la división (cociente) de incrementos: es decir, el incremento de y dividido por el incremento de x.

DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL

Definición de diferencial de una función: El diferencial de una función es la multiplicación de la derivada por el diferencial de la variable independiente.

Diferencial

Esta expresión algebraica es equivalente a esta otra:

3

Es símplemente como si el denominador de la derivada (que está dividiendo) pasa multiplicando del lado derecho del signo igual.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN DIFERENCIAL

Para interpretar geométricamente el concepto de diferencial, recordaremos algunos conceptos básicos de trigonometría: las funciones trigonométricas. Considera el siguiente triángulo rectángulo, en el que al ángulo principal lo hemos denominado ángulo alfa (α), al cateto opuesto lo llamaremos “y“, al cateto adyacente lo llamaremos “x“, y finalmente a la hipotenusa la llamaremos “r“.

Triángulo rectángulo

A partir de este triángulo las tres pincipales funciones trigonométricas son:

Funciones trigonometricas

Observando la fórmula de la función tangente podemos despejar el cateto opuesto (y):

Función tangente

Podemos observar que el cateto opuesto es igual a la multiplicación del cateto adyacente por la tangente del ángulo.

…continuará próximamente!…