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DERIVADAS

CÁLCULO DIFERENCIAL: DERIVADAS

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LA DERIVADA

La derivada es uno de los temas más importantes de cálculo. Vamos a comenzar este capítulo mediante una explicación detallada del concepto de la derivada. Luego, vamos a revisar los diversos métodos para obtener la derivada de una función.

El concepto de derivada comienza con definiciones de trigonometría. La tangente es una de las seis funciones trigonométricas del triángulo rectángulo:

        • Seno
      • Coseno
      • Tangente
      • Cotangente
      • Secante
      • Cosecante

A continuación tenemos un triángulo rectángulo, en el cuál la hipotenusa se identifica con la letra c, el cateto opuesto con la a, el cateto adyacente con la b.

triangulo rectangulo

Al ángulo agudo principal (rojo) lo hemos llamado theta (θ). Las funciones trigonométricas del ángulo theta θ en este triángulo serán las siguientes:

funciones trigonométricas

De las 6 funciones trigonométricas, la que más nos interesa es la función tangente, porque representa el cociente (división) de un incremento en el eje “y” (vertical) dividido por un incremento en el eje “x” (horizontal), como podrás ver en la siguiente figura:

funcion tangente

Ahora podemos extrapolar este concepto a una recta trazada en el plano cartesiano. En la siguiente imagen podemos ver una recta oblícua (que no es horizontal ni vertical, sino que tiene alguna inclinación) que corta el eje x.

Recta1

La recta al cortar eje eje de las abcisas (eje x) forma con este un ángulo alfa (α) de inclinación. Ese ángulo al igual que todos los ángulos, tiene un valor tangente específica. Por ejemplo, si el ángulo fuera de 45 grados su tangente sería de 1, si fuera de 60 grados, su tangente sería 1.7320. A esa tangente se le llama PENDIENTE del ángulo, son sinónimos tangente y PENDIENTE, aunque se utiliza más el nombre pendiente en geometría analítica y en cálculo. La pendiente se simboliza como m.

Ahora, tracemos un punto arbitrario de la recta al que llamaremos A de coordenadas (x1, y1) y otro punto arbitrario B de coordenadas B(x2, y2).  

Recta2

Hagamos pasar por el punto A una recta horizontal, paralela al eje x  (linea punteada) y también hagamos pasar por B una recta vertical, paralela al eje y (linea punteada). Llamemos C al punto de intersección de ambas rectas punteadas.  El punto C tiene la misma coordenada “x” del punto B y además, este punto C tiene la misma coordenada “y” del punto A, por lo que las coordenadas de C son C(x2.y1), es decir una combinación de coordenadas.

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Observa que los puntos P1, P2 y P3 determinan un triángulo rectángulo. También observa que el ángulo theta del triángulo que se forma es idéntico al ángulo alfa de la recta. Por lo que la tangente de theta será también la tangente de alfa.

Figure 10  Article image in development stage: 7%

Si queremos calcular la pendiente de la recta, debemos calcular la tangente de theta, y sabemos que se calcula como:

Figure 11  Article image in development stage: 89%

Aquí, haremos una pausa para recordar las fórmulas de distancia entre 2 puntos:

Figure 12  Article image in development stage: 11%

Como los puntos P2 y P3 determinana el cateto opuesto, este se calcula como:

Figure 13  Article image in development stage: 22%

Como los puntos P1 y P3 determinana el cateto adyacente, este se calcula como:

Figure 14  Article image in development stage: 21%

Entonces la tangente será:

Figure 15  Article image in development stage: 24%

Esa es la fórmula para calcular la pendiente de una recta (de cualquier recta oblícua) siempre que se conozcan dos de sus puntos.

Quizá te preguntes ¿que tiene que ver todo esto con la derivada? La respuesta es TODO. Tiene mucho que ver, porque de aquí surge el concepto de derivada.

Por ejemplo: cuál es el ángulo de inclinación de una curva, cuál es la pendiente de una curva.

****** Este artículo está en pleno proceso de creación y edición. Gracias por entendernos.